第５回　相関係数と散布図

表１のデータは、東京都区部における１９９４年１月〜８月の月平均気温Xと、一世帯当たりビール消費量Yを示しています。
�@散布図を描きなさい。
�A表を作成して相関係数を求めなさい。
�Bエクセル関数を用いて相関係数を求めなさい。
�C分析ツールを用いて相関係数を求めなさい。
�Dエクセル統計を用いて相関係数を求めなさい。
�E相関係数から平均気温とビールの消費量の関係について論じなさい。
�F�Eで論じた関係の強さから、気温とビール消費はどのような関係にあると思いますか？

�@棒グラフの作成は以下を参考にしてください。

�A相関係数は以下の公式を用いて計算します。またΣの計算はエクセルのSUM関数を用いて計算していきます。

例題１のワークシートにある表を完成させて基本統計量を計算しましょう！


まずは合計を計算します。合計の計算はSUM関数を用いましょう。
合計を出力させたいB1０のセルをクリックし、エクセルの上にあるマークを押します。



上の図のように1月から8月までが選択されていれば点線で囲まれた部分の合計が計算できます。
点線で囲まれた範囲が正しければEnterを押します。
次に平均を計算します。
平均＝合計÷個数
で計算できます。データの個数は８個で、合計はセルB1０に計算してあります。
よってセルB１１に
＝B1０/８
と入力し、Enterを押します。
C列もB列と同様に合計、平均を計算しましょう

次にD列のの部分を計算します。
B列にある数値からB１１の値を引けば計算できます。よって
それぞれに
＝B?−B１１
となるようにします。ここでB１１は必ずこの値を指定したいので絶対参照をします。
よってセルD2をクリックし、
＝B2-B$１１
と入力し、Enterを押します。ここで＄は絶対参照をあらわしています。
ここまでできたらセルD2を「コピー」し、D3からD9まで「貼り付け」を行います。

同様にE列も計算しましょう。
次にF列のの部分を計算します。
D列にある数値を２乗すれば計算できます。２乗は＾を用いて計算します。
よってセルF2をクリックし、
＝D2＾２
と入力し、Enterを押します。
ここまでできたらセルF2を「コピー」し、F3からF9まで「貼り付け」を行います。
最後にF列の合計をSUM関数を用いて計算します。
同様にG列も計算しましょう。



最後に次にH列のの部分を計算します。
D列にある数値とE列にある数値を掛ければ計算できます。
よってセルH2をクリックし、
＝D2*E2
と入力し、Enterを押します。
ここまでできたらセルH2を「コピー」し、H3からH9まで「貼り付け」を行います。
最後にH列の合計をSUM関数を用いて計算します。

これでΣの値が下記のセルに出力されています。
　　.....................F10
　......................G10
.................H10

これにより公式を用いて計算します。出力したいセル「C13」に

=H10/SQRT(F10*G10)

と入力します。


Enterを押せば結果が出力されます。

エクセルの組み込み関数を用いて統計量を計算してみましょう。

相関係数は以下の関数を用いて計算します。

相関係数を出力したいC１４を左クリックして指定します。

エクセルの上にある関数の挿入を表すを押します。

関数の分類は「統計」にすると候補が絞れて便利です。
関数名の中から「CORREL」を探し、左クリックした後「OK」を押します。

「関数の引数」ダイアログボックスが表示されたらデータの範囲を指定します。

配列１のを押してXの値であるB2からB９までを左クリックを押しながら範囲を指定します。

範囲が指定できたら再度を押し、「関数の引数」ダイアログボックスに戻ります。配列１にB2:B９と入力されていることを確認します。

同様に配列２にはYの値であるC2からC９までを左クリックを押しながら範囲を指定します。

最後に「OK」を押します。




分析ツールを用いて基本統計量を出力させましょう。
「ツール」⇒「分析ツール」とし、左クリックを押し、「データ分析」ダイアログボックスを出力させます。



「相関」を選択し、｛OK」を押して「基本統計量」ダイアログボックスを出力させる。


入力範囲にはを押して範囲を指定する。

注意；
分析ツールを用いて相関係数を計算する場合は求めたいデータが隣り合っていなければなりません。もしそうなっていないワークシートであればワークシートを作成する必要があります。
変数名も出力したいのでタイトルが入力されている2行目から指定する。
入力範囲は「B2]から「C９」までを指定する。

先頭行をラベルとして使用の欄にチェックを入れる

出力先を指定する。「出力先」にチェックを入れを押し、「F1５」を押します。
以上の作業を行い、上記のように設定できたら「OK」を押す。


以上のように出力されているかを確認してください。

エクセル統計を用いて相関係数を計算してみましょう

「エクセル統計」⇒「基本統計量」⇒「相関行列・偏相関行列」を選択し、左クリックを押します。




入力範囲にはを押して範囲を指定する。

注意；
エクセル統計を用いて相関係数を計算する場合は求めたいデータが隣り合っていなければなりません。もしそうなっていないワークシートであればワークシートを作成する必要があります。
変数名も出力したいのでタイトルが入力されている2行目から指定する。
入力範囲は「B2]から「C９」までを指定する。

以上の作業を行い、上記のように設定できたら「OK」を押す。
新しいワークシートに以下のように出力されているか確認してください。


相関係数の判断
相関係数には以下の性質があります。

相関係数（ｒ）の判断の仕方はいろいろとありますが、ここでは以下のように判断してみましょう。

平均気温とビールの消費量では0.93…と得られましたからデータの関係としては上の表から
「平均気温とビール消費量は非常に強い正の相関がある」と判断されます。


この結果から、気温とビール消費の関係がどのようなものかわかります。特に正の相関なので、一方が大きくなればもう一方も大きくなるという関係がわかりました。ですから、「気温が高くなればビール消費量は高くなる傾向にある。よって夏場はビール消費が高くなり、冬場はビール消費が低くなることがわかる。」といえるでしょう。

これは自然な結果と思いますが皆さんはどう思いますか?

表２は家計調査における平成15年平均の勤労者世帯における都市階級・地方・都道府県庁所在市別１世帯当たり１か月間の収入と支出のうち、消費支出を10大費目別にまとめたものである。
�@      費目別の消費支出について相関行列を計算しなさい。
�A      食費にもっとも関係のある費目を答えなさい。
�B      食費と正の相関にあって最も関係のある費目を答えなさい。
�C      食費と負の相関にあって最も関係のある費目を答えなさい。
�D      食費とまったく関係のない費目を答えなさい。
�E      交通・通信と保健医療の費目に対して無相関の検定を行いなさい。
�F      �Eの結果をまとめなさい。

例題1では2変量の相関係数を求めましたが、「分析ツール」や「エクセル統計」を用いれば多変量の相関係数を一括して出力させることができます。また「エクセル統計」では相関係数の出力だけではなく「相関係数の検定」、お行ってくれます。ここでは「エクセル統計」を用いて多変量のデータに対して相関係数の計算と無相関の検定を行ってみます。

例題2では10個の変数があります。これらを一括して相関係数を求めてみましょう。

「エクセル統計」⇒「基本統計量」⇒「相関行列・偏相関行列」を選択し、左クリックを押します。




入力範囲にはを押して範囲を指定する。

注意；
変数名も出力したいのでタイトルが入力されている１行目から指定する。
入力範囲は「B１]から「K50」までを指定する。

検定の欄には「無相関の検定」にチェックを入れる。

以上の作業を行い、上記のように設定できたら「OK」を押す。
新しいワークシートに以下のように出力されているか確認してください。



相関係数が行列化されているものを相関行列と呼びます。相関行列では求めたい2つの変数の相関係数は項目で交わったところに出力されています。例えば「住居」と「光熱・水道」の相関係数は2つの項目が交わった「−０．２２０」という値になります。
（縦と横が変わっても同じ値が出力されます）

自分自身との関係は正の完全相関ですから値は１になっています。このように相関行列は対角部分は必ず１になります。

例題２の�Aから�Dまでは食費との関係についての質問ですから食費となっている２列目を横に見て（あるいはB列を縦に見て）いき答えていきます。なお、食費との相関１は自分自身との関係であるため答える場合には除きます。
�A      食費にもっとも関係のある費目ですからもっとも値が高い（符号は関係ない）費目を答えます。
�B      食費と正の相関にあって最も関係のある費目ですから符合が正（プラス）の中で最も値が高い費目を答えます。
�C      食費と負の相関にあって最も関係のある費目ですから符合が正（プラス）の中で最も値が高い費目を答えます。
�D      食費とまったく関係のない費目ですからもっとも０に近い費目を答えます（符号は関係なし）。

答え　�A教養娯楽�B教養娯楽�C住居�D保健医療

例題２では無相関の検定にチェックを入れましたから、その結果も出力されます。上の例では１３行目から出力されています。無相関の検定の見方は＊がついているかで判断します。判定の基準は以下のとおりです。

�E交通・通信と保健医療の費目に対しての検定ですから上のところで交通・通信と保健医療が交わるセル（「G21」）をみます。
（無相関の検定では下三角行列で表記されています。注意してください）
ここでG21には「＊＊」という結果が出力されています。これから「１％有意で無相関ではない」という結果になります。

�F　家計調査における平成15年平均の勤労者世帯における都市階級・地方・都道府県庁所在市別１世帯当たり１か月間の収入と支出のうち、消費支出のうち、交通・通信費と保健医療費に関する無相関の検定を行ったところ、１％有意で相関があると判定された。よって交通・通信費と保健医療費には関連性がある。

表３は、わが国の実質家計可処分所得Xと実質家計最終消費支出Yを、1981年から94年までの14年間について示したものです。
�@散布図を描きなさい。
�A表を作成して相関係数を求めなさい。
�Bエクセル関数を用いて相関係数を求めなさい。
�C分析ツールを用いて相関係数を求めなさい。
�Dエクセル統計を用いて相関係数を求めなさい。
�E相関係数から実質家計可処分所得Xと実質家計最終消費支出Yの関係について論じなさい。
�F�Eで論じた関係の強さから、所得と消費はどのような関係にあると思いますか？


例題2について以下の質問に答えなさい。
�@      光熱・水道費にもっとも関係のある費目を答えなさい。
�A      光熱・水道費と正の相関にあって最も関係のある費目を答えなさい。
�B      光熱・水道費と負の相関にあって最も関係のある費目を答えなさい。
�C      光熱・水道費とまったく関係のない費目を答えなさい。
�D      被服および履物費と教育費の費目に対して無相関の検定を行いなさい。
�E　　�Dの結果をまとめなさい。


課題３　表4は、2000 年の労働力調査における都道府県別の産業別１次産業、２次産業、３次産業就業者のデータである。
�@      産業別就業者について相関行列を求めなさい。
�A      産業別就業者割合について相関行列を求めなさい。
�B      なぜ、�@と�Aの結果は異なるのかを述べなさい。